Задача №5-chec по алгебре (11 класс, Алимов Ш.А.)

ч 7(х+ й) - 7 (х) _ В (х+ й) + 5- (Вх + 5) — вр Найти производную функции / (х) = С, где.С — за- данное число. » (СкТ-ГСО _с-б я _Т:О. Так как разностное от- ношение равно нулю при любом й + 0, т. е. его значение не меняется при Й — 0, то предел этого отношения также равен нулю. Таким образом, про- изводная постоянной равна нулю, т. е. (С) = 0. < Найти производную линейной функции 7 () = Вх + 5. = В. й й Г Так как разностное отношение равно & при любом й + 0, то и предел этого отношения при й — 0 так- же равен В. Следовательно, (Ёх + )' = &. < Применяя формулу (Вх + Ъ)' = В, например, получаем (3х + Т)' = 8, (-дх + 1)' = -2, (5х)' = 5, (х)' = 1. Изучение теории пределов не входит в программу средней школы. По этой причине в школьном кур- се математики некоторые формулы производных строго не доказываются или вообще принимаются без доказательства. При нахождении производных простейших функ- ций мы пользуемся наглядными представлениями. Например, мы считаем наглядно понятным, что если & — 0, то 5А — 0, № —> 0, 5 - ЗА — 5 и т.п. Тем не менее приведем здесь строгое определение предела функции в точке и поясним его. Определение. Число А называется пределом функции [(х) в точке х, и обозначается Нт 7 (х) = А, если для любого числа в > (0 суще- х —› хо ствует такое число 6 > 0, что для всех х, удовле- творяющих условию |х - х)| < ё, где х # х,, ВЫ- полняется неравенство |/ (х) - А| < Е. Поясним это определение предела функции. Число А является пределом функции / (х) в точке х), если значения / (х) при х, достаточно близких к х(, ста- новятся как угодно близкими к числу А, т. е. зна- чения |/ (х) - А| становятся как угодно малыми. 228 Рис. 102 Рис. 103 Это означает, что можно взять сколь угодно малое положительное число & и убедиться в том, что для всех х, отличающихся от х, меньше чем на неко- торое число ё, модуль разности между / (х) и чис- лом А будет меныше взятого числа 6. Например, если / (х) = (х - 2)? + 3, то 1іт2 Ё (х) = 3. х> Действительно,