Задача №10-class-3 по геометрии (11 класс, Атанасян Л.С.)

В курсе алгебры гиперболой называлась кривая, заданная в прямоугольной системе координат Оху уравнением у=% (& * 0). В системе координат Ох’у’, которая получается поворотом осей Ох и Оу во- круг точки О на 45° против часовой стрелки, уравне- ние этой гиперболы при Ё& > 0 (рис. 226) имеет канони- ческий вид у— Рис. 226 х’? (2к)? (2к)? — Докажите это самостоятельно. 99 Парабола Мы знаем, что эллипс (гипербола) является множеством всех таких точек плоскости, для которых отношение расстояния до фиксированной точки к рас- стоянию до фиксированной прямой постоянно и мень- ше (больше) единицы. Сам собой напрашивается вопрос: какая кривая соответствует отношению, равному 1? Эта кри- вая называется параболой. Таким образом, мы прихо- дим к следующему определению. Определение Параболой называется множество всех таких точек плоскости, для которых расстояние до фиксированной точки равно расстоянию до фиксированной прямой, не проходящей через эту точку. Некоторые сведения 217 з планиметрии Фиксированная точка называется фокусом, а фиксированная прямая — директрисой параболы. Пусть р — расстояние от фокуса Ё до дирек- трисы. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы фокус имел координаты Ё [%; 0] ‚ а директриса задавалась уравнением х = — % (рис. 227, а). В этой сис- теме координат уравнение параболы имеет вид 2 —# @ = Р Возводя обе части этого равенства в квадрат (докажите, что при этом лишних корней не появится), приходим к уравнению у*= Эрх. (9) Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Оно позволяет обнаружить сле- дующие свойства параболы.