Задача №10-class-6 по геометрии (11 класс, Атанасян Л.С.)

для любой точки О, не лежащей на прямых АВ, ВС и СА, вы- &а « АОС, ‚ в «ВОА, ‚ т «СОВ, _ 1 з 2О,ОВ ` эт ДА1ОС ` вш /В,ОА — полняется равенство Эллипс, гипербола и парабола 97 Эллипс Эллипс, по-видимому, был известен еще в глубокой древности, когда облик геометрии соответ- ствовал дословному переводу ее названия. В те времена основными инструментами для выполнения построе- ний на местности были колья и веревки, позволявшие проводить прямые и окружности, а значит, и выпол- нять все те построения, которые теперь называют по- строениями с помощью циркуля и линейки. Ясно, как с помощью указанных инстру- ментов построить окружность: нужно закрепить один из концов веревки и в натянутом состоянии прочертить вторым концом линию. Напрашивается вопрос: а что получится, если закрепить оба конца ненатянутой ве- ревки, а затем в натянутом состоянии прочертить ли- нию? Получится эллипс. Таким образом, мы приходим к следующему определению. Определение Эллипсом называется множество всех таких точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек постоянна. Фиксированные точки называются фокуса- ми эллипса. Пусть 2с — расстояние между фокусами, 2а — сумма расстояний от точки эллипса до фокусов. Введем прямоугольную систему координат Оху так, чтобы фокусы Р, и Ё, имели координаты Ё, (-с; 0) и Ё, (с; 0) (рис. 223), и выведем уравнение эллипса в этой системе координат. Стоящую перед нами задачу можно сформулировать так: найти множество всех та- ких точек М (х; у), для которых МЕ, + МЕ, = да. Рис. 223 2 Некоторые сведения 77 — з планижетрии ЕЁ(-с;0) О| — Ву(с;0) х Из неравенства треугольника следует, что МЕ, + МЕ, 2 Е, Е, т. е. а 2 с. При а = с эллипс вырож- дается в отрезок Р,Е,, поэтому будем считать, что а > с. Поскольку МЕ, = `/(:\:+с)2 +у?, МЕ, =`/(х—с)г +у?, то уравнение эллипса имеет вид х+е)? + у? + /[(х -с)? + у° = да. @ Умножим обе части этого равенства на раз- ность фигурирующих в нем корней, а затем разделим на да. В результате получим: