Задача №154 по геометрии (7 класс, Атанасян Л.С.)

Глава VII Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противоле- жащего катета к прилежащему катету. Синус, косинус и тангенс угла, равного α, обозначаются символами sin α, cos α и tg α (чита- ется: «синус альфа», «косинус альфа» и «тангенс альфа»). На рисунке 206 BC sinA = , (1) AB AC cosA = , (2) AB BC tgA = . (3) AC Из формул (1) и (2) получаем: sinA BC AB BC = ⋅ = . Сравнивая с формулой cosA AB AC AC (3), находим: sinA tgA = , (4) cosA т. е. тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла. Докажем, что если острый угол одного пря- моугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны. В самом деле, пусть ABC и A B C — два 1 1 1 прямоугольных треугольника с прямыми угла- ми С и С и равными острыми углами А и А . 1 1 Треугольники ABC и А В С подобны по первому 1 1 1 признаку подобия треугольников, поэтому AB BC AC = = . A B B C A C 1 1 1 1 1 1 BC B C Из этих равенств следует, что = 1 1 , AB A B 1 1 AC A C т. е. sin A = sin A . Аналогично = 1 1, т. е. 1 AB A B 1 1 BC B C cos A = cos A , и = 1 1, т. е. tg A = tg A . 1 AC A C 1 1 1 155 Подобные треугольники Докажем теперь справедливость равенства sin2 A + cos2 A = 1. (5) Из формул (1) и (2) получаем BC2 AC2 BC2+AC2 sin2A + cos2A = + = . AB2 AB2 AB2 По теореме Пифагора ВС2 + АС2 = AB2, поэтому sin2 A + cos2 A = 1. Равенство (5) называется основным триго- нометрическим тождеством1. 69 Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60° Найдём сначала значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30° и 60°. Для этого рас- смотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С, у которого ∠A = 30°, ∠B = 60° (рис. 207). Так как катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то BC 1 BC = . Но = sinA = sin30°. С другой сторо- AB 2 AB BC ны, = cosB = cos60°. Итак, AB Рис. 207 1 1 sin30° = , cos60° = . 2 2 Из основного тригонометрического тожде- ства полу