Задача №162 по геометрии (7 класс, Атанасян Л.С.)

Глава VIII OB = OH2 + HB2 = d2 + (r2 − d2) = r. Следовательно, точки A и B лежат на окружности и, значит, являются общими точка- ми прямой р и данной окружности. Докажем, что прямая р и данная окруж- ность не имеют других общих точек. Предполо- жим, что они имеют ещё одну общую точку С. Тогда медиана OD равнобедренного треугольника ОАС, проведённая к основанию АС, является вы- сотой этого треугольника, поэтому OD ⊥ p. Отрез- ки OD и ОН не совпадают, так как середина D отрезка АС не совпадает с точкой Н — серединой отрезка AB. Мы получили, что из точки О про- ведены два перпендикуляра (отрезки ОН и OD) к прямой р, что невозможно. Итак, если расстояние от центра окруж- ности до прямой меньше радиуса окружности (d < r), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секу- щей по отношению к окружности. 2) d = r. В этом случае ОН = r, т. е. точка Н лежит на окружности и, значит, является об- щей точкой прямой и окружности (рис. 211, б). Прямая р и окружность не имеют других общих точек, так как для любой точки М прямой р, от- личной от точки Н, OM > ОН = r (наклонная OM Рис. 211 больше перпендикуляра ОН), и, следовательно, точка М не лежит на окружности. Итак, если расстояние от центра окруж- ности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. 3) d > r. В этом случае ОН > r, поэто- му для любой точки М прямой р OM ≥ ОН > r (рис. 211, в). Следовательно, точка М не лежит на окружности. Итак, если расстояние от центра окружно- сти до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.