Задача №169 по геометрии (7 класс, Атанасян Л.С.)

Окружность Следствие 1 Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 219). Следствие 2 Вписанный угол, опирающийся на полуокруж- Рис. 219 ность, — прямой (рис. 220). Используя следствие 1, докажем теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд. Теорема Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно про- изведению отрезков другой хорды. Доказательство Пусть хорды AB и CD пересекаются в точ- ке Е (рис. 221). Докажем, что AE ⋅ BE = CE ⋅ DE. Рассмотрим треугольники ADE и СВЕ. В этих треугольниках углы 1 и 2 равны, так как Рис. 220 они вписанные и опираются на одну и ту же дугу BD, а углы 3 и 4 равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников AE DE ♠ADE (cid:2) ♠CBE. Отсюда следует, что = , CE BE или AE ⋅ BE = CE ⋅ DE. Теорема доказана. Задачи Рис. 221 649 Начертите окружность с центром О и отметьте на ней точку А. Постройте хорду AB так, чтобы: а) ∠AOB = 60°; б) ∠AOB = 90°; в) ∠AOB = 120°; г) ∠AOB = 180°. 650 Радиус окружности с центром О равен 16. Найдите хорду AB, если: а) ∠AOB = 60°; б) ∠AOB = 90°; в) ∠AOB = 180°. 651 Хорды AB и CD окружности с центром О равны. а) Докажите, что две дуги с концами A и B соответственно равны двум дугам с концами С и D. б) Найдите дуги с концами С и D, если ∠AOB = 112°.