Задача №173 по геометрии (7 класс, Атанасян Л.С.)

Окружность Следствие 2 Биссектрисы треугольника пересекаются в од- ной точке. В самом деле, обозначим буквой О точку пересечения биссектрис АА и BB треугольни- 1 1 ка ABC и проведём из этой точки перпендику- ляры OK, OL и OM соответственно к прямым AB, ВС и СА (рис. 225). По доказанной теореме ОK = OM и OK = OL. Поэтому OM = OL, т. е. точ- ка О равноудалена от сторон угла АСВ и, значит, лежит на биссектрисе CC этого угла. Следова- 1 Рис. 225 тельно, все три биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке О, что и требовалось до- казать. 75 Свойства серединного перпендикуляра к отрезку Напомним, что серединным перпендикуля- ром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендику- лярная к нему. На рисунке 226 прямая а — сере- динный перпендикуляр к отрезку AB. Докажем теорему о серединном перпенди- Рис. 226 куляре к отрезку. Теорема Каждая точка серединного перпендикуляра к от- резку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудалённая от кон- цов отрезка, лежит на серединном перпендику- ляре к нему. Доказательство Пусть прямая m — серединный перпенди- куляр к отрезку AB, точка О — середина этого отрезка (рис. 227, а). 1) Рассмотрим произвольную точку М прямой m и докажем, что АМ = ВМ. Если точ-