Задача №174 по геометрии (7 класс, Атанасян Л.С.)

Глава VIII ка М совпадает с точкой О, то это равенство верно, так как О — середина отрезка AB. Пусть М и О — различные точки. Прямоугольные треугольники ОАМ и ОВМ равны по двум ка- тетам (ОА = ОВ, OM — общий катет), поэтому AM = ВМ. 2) Рассмотрим произвольную точку N, равноудалённую от концов отрезка AB, и до- кажем, что точка N лежит на прямой m. Если N — точка прямой AB, то она совпадает с се- рединой О отрезка AB и потому лежит на пря- мой m. Если же точка N не лежит на прямой AB, то тре угольник ANВ равнобедренный, так как AN = BN (рис. 227, б). Отрезок NO — медиа- на этого треугольника, а значит, и высота. Та- ким образом, NO ⊥ AB, поэтому прямые ON и m совпадают, т. е. N — точка прямой m. Теорема доказана. Следствие 1 Рис. 227 Геометрическим местом точек плоскости, равно- удалённых от концов отрезка, является середин- ный перпендикуляр к этому отрезку. Следствие 2 Серединные перпендикуляры к сторонам тре- угольника пересекаются в одной точке. Для доказательства этого утверждения рас- смотрим серединные перпендикуляры m и n к сторонам AB и ВС треугольника ABC (рис. 228). Эти прямые пересекаются в некоторой точке О. В самом деле, если предположить противное, т. е. что m || n, то прямая ВА, будучи перпендикуляр- ной к прямой m, была бы перпендикулярна и к Рис. 228 параллельной ей прямой n, а тогда через точку В проходили бы две прямые ВA и BС, перпендику- лярные к прямой n, что невозможно. По доказанной теореме ОВ = ОА и ОВ = ОС. Поэтому ОА = ОС, т. е. точка О равноудалена от