Задача №176 по геометрии (7 класс, Атанасян Л.С.)

Глава VIII Итак, с каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересечения медиан (она на- зывается центроидом треугольника), точка пере- сечения биссектрис, точка пересечения середин- ных перпендикуляров к сторонам и точка пересе- чения высот или их продолжений (она называет- ся ортоцентром треугольника). Эти четыре точки называются замечательными точками треуголь- ника. Задачи 674 Из точки М биссектрисы неразвёрнутого угла О проведены перпендикуляры МА и MB к сторонам этого угла. Докажите, что AB ⊥ OM. 675 Стороны угла О касаются каждой из двух окружностей, име- ющих общую касательную в точке А. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой ОА. 676 Стороны угла А касаются окружности с центром О ра- диуса r. Найдите: а) ОА, если r = 5 см, ∠A = 60°; б) r, если ОА = 14 дм, ∠A = 90°. 677 Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольни- ка ABC пересекаются в точке О. Докажите, что точка О явля- ется центром окружности, касающейся прямых AB, ВС, АС. 678 Биссектрисы АА и ВВ треугольника ABC пересекаются в 1 1 точке М. Найдите углы АСМ и ВСМ, если: а) ∠AMB = 136°; б) ∠AMB = 111°. 679 Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольни- ка ABC пересекает сторону АС в точке D. Найдите: а) AD и CD, если BD = 5 см, АС = 8,5 см; б) АС, если BD = 11,4 см, АD = 3,2 см. 680 Серединные перпендикуляры к сторонам AB и АС треуголь- ника ABC пересекаются в точке D стороны ВС. Докажите, что: а) точка D — середина стороны ВС; б) ∠A = ∠B + ∠C. 681 Серединный перпендикуляр к стороне AB равнобедренного треугольника ABC пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите основание АС, если периметр треугольника АЕС равен 27 см, а AB = 18 см. 682 Равнобедренные треугольники ABC и ABD имеют общее осно- вание AB. Докажите, что прямая CD проходит через середину отрезка AB. 683 Докажите, что если в треугольнике ABC стороны AB и АС не равны, то медиана AM треугольника не является высотой.