Задача №178 по геометрии (7 класс, Атанасян Л.С.)

Глава VIII сунке 232 треугольник ABC описан около окруж- ности с центром О. Докажем теорему об окружности, вписан- ной в треугольник. Теорема В любой треугольник можно вписать окруж- ность. Доказательство Рассмотрим произвольный треугольник ABC и обозначим буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведём из точки О перпенди- куляры OK, OL и OM соответственно к сторо- нам AB, ВС и СА (см. рис. 232). Так как точка О равноудалена от сторон треугольника ABC, то OK = OL = OM. Поэтому окружность с центром О радиуса ОK проходит через точки K, L и М. Сто- роны треугольника ABC касаются этой окруж- ности в точках K, L, M, так как они перпен- дикулярны к радиусам ОK, OL и OM. Значит, окружность с центром О радиуса ОK является вписанной в треугольник ABC. Теорема дока- зана. Замечание 1 Рис. 232 Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. В самом деле, допустим, что в треуголь- ник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудалён от сторон тре- угольника и, значит, совпадает с точкой О пере- сечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают. Замечание 2 Обратимся к рисунку 232. Мы видим, что треугольник ABC составлен из трёх тре- угольников: ABO, BCO и САО. Если в каждом из этих треугольников принять за основание сто- рону треугольника АВС, то высотой окажется