Задача №230 по геометрии (7 класс, Атанасян Л.С.)

Глава X б) Вычисление длины вектора по его коор- динатам. Докажем, что длина вектора аα {x; у} вычисляется по формуле | аα | = x2+ y2. Отложим от начала координат вектор ОАσ = аα и проведём через точку А перпендикуля- ры АА и АА к осям Ох и Оу (рис. 280). Коор- 1 2 динаты точки А равны координатам вектора ОАσ, т. е. (x; у). Поэтому OA = | x |, AA = OA = | y | (мы 1 1 2 рассматриваем случаи, когда x ≠ 0 и y ≠ 0; другие Рис. 280 случаи рассмотрите самостоятельно). По теореме Пифагора OA = OA2 + AA2 = x2 + y2. 1 1 Но | аα | = | ОАσ | = ОА, поэтому | аα | = x2 + y2, что и требовалось доказать. в) Расстояние между двумя точками. Пусть точка М имеет координаты (x ; у ), а точка 1 1 1 М — координаты (х ; у ). Выразим расстояние d 2 2 2 между точками M и М через их координаты. 1 2 Рассмотрим вектор ММ ξ. Его координаты 1 2 равны {x − x , у − y }. Следовательно, длина это- 2 1 2 1 го вектора может быть найдена по формуле | MMξ | = (x − x )2 + (y − y )2. 1 2 2 1 2 1 Но | MMξ | = d. Таким образом, расстояние 1 2 d между точками М (х ; у ) и М (х ; у ) выража- 1 1 1 2 2 2 ется формулой d = (x − x )2 + (y − y )2. 2 1 2 1 Задачи 929 Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точ- ка В — на положительной полуоси Оу. Найдите координаты вершин треугольника ABО, если: а) ОА = 5, ОВ = 3; б) ОА = а, ОВ = b. 930 Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка В — на положительной полуоси Оу. Найдите координаты вершин прямоугольника ОАСВ, если: а) ОА = 6,5, ОВ = 3; б) ОА = а, ОВ = b.