Задача №252 по геометрии (7 класс, Атанасян Л.С.)

Глава XI Из первых двух равенств получаем: 1 1 a c absinC = bcsinA, откуда = . Точно 2 2 sinA sinC так же из второго и третьего равенств следует, a b = . sinA sinB a b c Итак, = = . Теорема дока- sinA sinB sinC зана. Замечание Можно доказать (см. задачу 1033), что от- ношение стороны треугольника к синусу про- тиволежащего угла равно диаметру описанной окружности. Следовательно, для любого тре- угольника ABC со сторонами AB = с, ВС = а и СА = b имеют место равенства a b c = = = 2R, sinA sinB sinC где R — радиус описанной окружности. 102 Теорема косинусов Теорема Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на коси- нус угла между ними. Доказательство Пусть в треугольнике ABC AB = c, ВС = а, СА = b. Докажем, например, что a2 = b2 + c2 − 2bc cos A. (1) Введём систему координат с началом в точ- ке А так, как показано на рисунке 293. Тогда точка В будет иметь координаты (с; 0), а точ- ка С — координаты (b cos A; b sin A). По формуле расстояния между двумя точками получаем: BC2 = a2 = (b cos A − c)2 + b2 sin2 A = Рис. 293 = b2 cos2 A + b2 sin2 A − 2bc cos A + c2 = = b2 + c2 − 2bc cos A. Теорема доказана. Соотношения между 253 сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов Теорему косинусов называют иногда обоб- щённой теоремой Пифагора. Такое название объ- ясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике ABC угол А прямой, то cos A = cos 90° = 0 и по формуле (1) получаем а2 = b2 + с2, т. е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 103 Решение треугольников Решением треугольника называется нахож- дение всех его шести элементов (т. е. трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным эле- ментам, определяющим треугольник. Рассмотрим три задачи на решение тре- угольника. При этом будем пользоваться такими обозначениями для сторон треугольника ABC: AB = с, ВС = a, CA = b. Задача 1