Задача №260 по геометрии (7 класс, Атанасян Л.С.)

Глава XI На рисунке 302 аα bα = 35°, аα cα = 90°, bα cα = 125°, поэтому aα ⋅ bα > 0, аα ⋅ сα = 0, bα ⋅ сα < 0. Если aα ↑↑ bα, то по формуле (1) получаем aα ⋅ bα = | aα | ⋅ | bα |. В частности, aα ⋅ aα = | aα |2. Рис. 302 Скалярное произведение aα ⋅ aα называется скалярным квад ратом вектора aα и обозначается aα2. Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Скалярное произведение векторов широ- ко используется в физике. Например, из курса механики известно, что работа А постоянной силы Fφ при перемещении тела из точки M в точ- Рис. 303 ку N (рис. 303) равна произведению длин векто- ров силы Fφ и перемещения MNτ на косинус угла между ними: A = | Fφ | ⋅ | MNτ | ⋅ cos ϕ. Правая часть этого равенства представля- ет собой скалярное произведение векторов Fφ и MNτ, т. е. работа А силы Fφ равна скалярному произведению векторов силы и перемещения: A = Fφ ⋅ MNτ. 107 Скалярное произведение в координатах Скалярное произведение двух векторов мож- но вычислить, зная координаты этих векторов. Теорема В прямоугольной системе координат ска- лярное произведение векторов aα {x ; y } и 1 1 bα {x ; у } выражается формулой 2 2 aα ⋅ bα = x x + y y . (2) 1 2 1 2 Соотношения между 261 сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов Доказательство Если хотя бы один из векторов a α и b α нуле- вой, то справедливость равенства (2) очевидна, так как координаты нулевого вектора равны нулю. Рассмотрим случай, когда векторы a α и b α ненуле- вые. Отложим от произвольной точки О векторы ОА σ= a α и ОВ σ= b.α Если векторы a α и b α не коллинеар- ны (рис. 304, а), то по теореме косинусов AB2 = ОА2 + ОB2 − 2ОА ⋅ ОВ ⋅ cos α. (3) Это равенство верно и в том случае, когда векторы aα и bα коллинеарны (рис. 304, б, в). Так как ABχ = bα − аα, ОАσ = аα, ОВσ = bα, то ра- венство (3) можно записать так: | aα − bα |2 = | aα |2 + + | bα |2 − 2aα bα, откуда aα ⋅ bα = 1 (| aα |2 + | bα |2 − | aα − bα |2). (4)