Задача №262 по геометрии (7 класс, Атанасян Л.С.)

Глава XI Следствие 2 Косинус угла α между ненулевыми векторами aα {x ; y } и bα {x ; y } выражается формулой 1 1 2 2 x x + y y cosα = 1 2 1 2 . (5) x2 + y2 . x2 + y2 1 1 2 2 В (cid:2)(cid:3)сам(cid:3) ом деле, так как aα ⋅ bα = | aα | | bα | cos α, то cosα= (cid:2)(cid:3) a⋅b (cid:3) . |a|⋅|b| Подставив сюда выражения для aα ⋅ bα, | аα | и | bα | через координаты векторов aα и bα, получим формулу (5). 108 Свойства скалярного произведения векторов Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами: Для любых векторов аα, bα, сα и любого числа k справедливы соотношения: 10. аα 2 ≥ 0, причём аα 2 > 0 при аα ≠ 0.α 20. аα ⋅ bα = bα ⋅ аα (переместительный закон). 30. (аα + bα) ⋅ сα = аα ⋅ сα + bα ⋅ сα (распределительный закон). 40. (kаα) ⋅ bα = k (aα ⋅ bα) (сочетательный закон). Утверждение 10 непосредственно следует из формулы аα ⋅ аα = | аα |2, а утверждение 20 — из определения скалярного произведения. Докажем утверждения 30 и 40. Введём прямоугольную систему координат и обозначим координаты векторов аα, bα и сα так: aα {x ; y }, bα {х ; у }, сα {х ; у }. 1 1 2 2 3 3 Используя формулу (2), получаем (аα + bα) ⋅ cα = (х + х ) х + (у + у ) у = 1 2 3 1 2 3 = (x x + у у ) + (х x + у у ) = аα ⋅ сα + bα ⋅ сα. 1 3 1 3 2 3 2 3 Утверждение 30 доказано. Соотношения между 263 сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов Докажем теперь утверждение 40. Вектор kaα имеет координаты {kx ; ky }, поэтому (kaα) ⋅ bα = 1 1 = (kx ) x + (ky ) у = k (x x + у у ) = k (aα ⋅ bα). 1 2 1 2 1 2 1 2 Замечание Ясно, что распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых. Например, (aα + bα + cα) ⋅ dα = aα ⋅ dα + bα ⋅ dα + cα ⋅ dα. Задачи 1039 Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) AB ρ и АС;ρ б) AB ρ и DA;σ в) ОА σ и ОB;ρ г) АО ρ и ОB;ρ д) OA ρ и ОС;ρ е) АС ρ и BD;ρ ж) AD σ и DB;ρ з) АО ρ и ОС.σ 1040 Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, и диа- гональ BD равна стороне ромба. Найдите угол между век- торами: а