Задача №306 по геометрии (7 класс, Атанасян Л.С.)

Глава XIV измерения объёмов. За единицу измерения объё- мов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называ- ется кубическим сантиметром и обозначается так: 1 см3. Аналогично определяются кубический метр (м3), кубический миллиметр (мм3) и т. д. Процедура измерения объёмов аналогична процедуре измерения площадей. При выбранной единице измерения объём тела выражается поло- жительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объёмов и её частей укладыва- ются в этом теле. Ясно, что число, выражающее объём тела, зависит от выбора единицы измере- ния объёмов. Поэтому единица измерения объё- мов указывается после этого числа. Например, если в качестве единицы измере- ния объёмов взят 1 см3, и при этом объём V некото- рого тела оказался равным 2, то пишут: V = 2 см3. Если два тела равны, то каждое из них со- держит столько же единиц измерения объёмов и её частей, сколько и другое тело. Таким образом, 10. Равные тела имеют равные объёмы. Рассмотрим тело, составленное из несколь- ких тел так, что внутренние области этих тел не имеют общих точек (рис. 347). Ясно, что объём всего тела складывается из объёмов составляю- щих его тел. Итак, 20. Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел. Свойства 10 и 20 называются основными свойствами объёмов. Напомним, что аналогич- ными свойствами обладают длины отрезков и Рис. 347 площади многоугольников. Для нахождения объёмов тел в ряде слу- чаев удобно пользоваться теоремой, получившей название принцип Кавальери1. Поясним, в чём 1 Кавальери Бонавентура (1598—1647) — итальянский математик. 307 Начальные сведения из стереометрии Рис. 348 состоит этот принцип. Рассмотрим два тела, за- ключённые между двумя параллельными пло- скостями α и α (рис. 348). Допустим, что любая 1 2 плоскость, расположенная между плоскостями α и α и параллельная им, пересекает оба тела 1 2 так, что площадь сечения первого тела в k раз больше площади сечения второго тела, причём