Задача №163-task по геометрии (8 класс, Атанасян Л.С.)

Окружность 71 Касательная к окружности Мы доказали, что прямая и окружность мо- гут иметь одну или две общие точки и могут не иметь ни одной общей точки. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания пря- мой и окружности. На рисунке 212 пря- мая р — касательная к окружности с цен- тром О, А — точка касания. Докажем теорему о свойстве каса- тельной к окружности. Теорема Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Доказательство Пусть р — касательная к окружности с центром О, А — точка касания (см. рис. 212). Докажем, что касательная р перпендикулярна к радиусу ОА. Предположим, что это не так. Тогда ради- ус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведённый из точки О к пря- мой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от Рис. 212 центра О окружности до прямой р меньше радиу- са. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию: прямая р — касательная. Таким образом, прямая р перпендикулярна к радиусу ОА. Теорема доказана. Рассмотрим две касательные к окружности с центром О, проходящие через точку А и каса- ющиеся окружности в точках В и С (рис. 213). Отрезки AB и АС назовём отрезками касатель- ных, проведёнными из точки А. Они обладают следующим свойством: Рис. 213