Задача №186-task по геометрии (8 класс, Атанасян Л.С.)

Глава VIII Предположим, что это не так. Тогда пря- мая CD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай (рис. 238, б). Проведём касательную C′D′, параллельную стороне CD (С′ и D′ — точки пересечения касательной со сторонами ВС и AD). Так как ABC′D′ — описанный четырёхуголь- ник, то по свойству его сторон AB + C′D′ = BC′ + AD′. (2) Но ВС′ = ВС − С′С, AD′ = AD − D′D, поэтому из равенства (2) получаем: C′D′ + C′C + D′D = BC + AD − AB. Правая часть этого равенства в силу (1) равна CD. Таким образом, приходим к ра- венству Рис. 238 C′D′ + C′C + D′D = CD, т. е. в четырёхугольнике C′CDD′ одна сторона равна сумме трёх других сторон. Но этого не может быть, и, значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следова- тельно, окружность касается стороны CD, что и требовалось доказать. 725 Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями a и b. 726 Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедрен- ный, либо прямоугольный. 727 В равнобедренный треугольник вписана окружность с цент- ром О и около него описана окружность с центром О . Дока- 1 2 жите, что точки О и О лежат на серединном перпендикуляре 1 2 к основанию треугольника. 728 Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб — квадрат. 729* Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противопо- ложных углов равна 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.