Задача №236-task по геометрии (8 класс, Атанасян Л.С.)

Глава X 95 Уравнение прямой Выведем уравнение данной прямой l в за- данной прямоугольной системе координат. От- метим две точки А (x ; у ) и В (х ; у ) так, чтобы 1 1 2 2 прямая l была серединным перпендикуляром к отрезку AB (рис. 287, а). Если точка M (x; у) ле- жит на прямой l, то АМ = ВМ, или АМ2 = ВМ2, т. е. координаты точки M удовлетворяют урав- нению (x − x )2 + (y − y )2 = (x − x )2 + (y − y )2. (2) 1 1 2 2 Если же точка M (x; у) не лежит на прямой l, то АМ2 ≠ ВМ2, и, значит, координаты точки M не удовлетворяют уравнению (2). Следовательно, уравнение (2) является уравнением прямой l в заданной системе координат. После возведения выражений в скобках в квадрат и приведения подобных членов уравнение (2) принимает вид ах + by + с = 0, (3) где а = 2 (х − х ), b = 2 (y − y ), с = х2 + у2 − x2 − y2. 1 2 1 2 2 2 1 1 Так как А (x ; у ) и В (х ; у ) — различные точки, 1 1 2 2 то хотя бы одна из разностей (x − х ) и (у − у ) не 1 2 1 2 равна нулю, т. е. хотя бы один из коэффициентов a и b отличен от нуля. Таким образом, уравнение прямой в прямоугольной системе координат яв- ляется уравнением первой степени. Если в уравнении (3) коэффициент b отли- чен от нуля, то это уравнение можно записать Рис. 287 так: у = kx + d, a c где k = − , d = − . Число k называется угловым b b коэффициентом прямой, заданной этим уравне- нием. Докажите самостоятельно, что: две параллельные прямые, не параллельные оси Оу, имеют одинаковые угловые коэффициенты; если две прямые имеют одинаковые угловые ко- эффициенты, то эти прямые паралл ельны.