Задача №344-task по геометрии (8 класс, Атанасян Л.С.)

Приложения было доказано, что если непротиворечива геометрия Евклида, то непротиворечива и геометрия Лобачевского. Непротиворечивость той или иной геометрии доказывается с помощью какой-либо ин- терпретации (модели) её основных понятий и аксиом. Например, одной из известных интерпретаций евклидовой геометрии является арифметическая модель, в которой точка есть пара чисел (x; у), за- писанная в определённом порядке, а прямая есть множество то- чек, удовлетворяющих линейному уравнению ах + bх + с = 0, где a и b — некоторые числа (а2 + b2 ≠ 0). С помощью этой модели вопрос о непротиворечивости евклидовой геометрии сводится к вопросу о непротиворечивости арифметики, имеющей дело с вещественными числами. О моделях, реализующих систему аксиом геометрии Лоба- чевского, можно прочитать в различных книгах, например в книге [1] из списка литературы (см. с. 337). Вопрос о непротиворечивости той или иной системы а ксиом связан с важными проблемами непротиворечивости, полноты и не- зависимости систем аксиом, определяющих ту или иную геомет- рию. Перечисленные проблемы относятся к предмету, называемому « Основания геометрии». Крупнейший вклад в решение этих про- блем внёс великий немецкий математик Д. Гильберт (1862—1943). Отметим, что в настоящее время геометрия широко использу- ется в самых разнообразных разделах естествознания: в физике, хи- мии, биологии и т. д. Неоценимо её значение в прикладных науках: в машиностроении, геодезии, картографии. Методы геометрии ши- роко применяются практически во всех разделах науки и техники и, конечно же, в самой математике.