Задача №13 по алгебре (9 класс, Макарычев Ю.Н.)

Целое уравнение и его корни Определение. Целым уравнением с одной пере- менной называется уравнение, левая и правая части кото- рого — целые выражения. Например, уравнения ;1 = х;1=10и(х+2)(х—3)=х(х+1)— Я х+ЗЁ—5х 4, * целые, а уравнения Р х+2 _ х 2_5 аВ + 8& = ® - 4, == х 33 х ы 6 х+1 х -83 х+1 целыми не являются. $5. Уравнения с одной переменной 71 72 Всякое целое уравнение можно заменить равносильным ему уравнением вида Р(х) = 0, где Р(х) — многочлен стандартного вида. Так, линейное уравнение можно привести к виду ах + Ь = 0, а квад- ратное — к виду ах + Ьх + с = 0. Возьмём целые уравнения (х* — 1)* + х° = хб - 9(х - 1), () * -1 Х2+1_2 ое = 8х (2) и преобразуем их к виду Р(х) = 0. В уравнении (1) раскроем скобки, перенесём все члены в левую часть и приведём подобные слагаемые: х° — 2х® + 1 + х° = хё - дх + 2, х° - 22° + 1 + х° — хб + 2х — 2 = 0, ® — х° + дх — 1 = 0. Преобразуем уравнение (2). В этом случае сначала избавимся от дробей. Для этого умножим обе части уравнения на четыре: х* - 1 - 2(2 + 1) = 12х?. Далее будем выполнять преобразования, аналогичные преобра- зованиям в примере (1): х* - 1 - 2х* - 2 = 12х*, х* — 1 — 2х* — 2 — 12х? = 0, х* — 14х? — 8 = 0. [р =—= == н ое е == е ж е п н нн ж о н е о е о =н н нн е е н Если уравнение с одной переменной записано в виде | Р(х) = 0, где Р(х) — многочлен стандартного вида, то сте- ! пень этого многочлена называют степенью уравнения. Степенью произвольного целого уравнения называют сте- ! пень равносильного ему уравнения вида Р(х)=0, где | | ! Р(х) — многочлен стандартного вида. Ь е е е ннн ее на ка нн нн нн нн нн н нн нн к ешн н н ннн я н о == = = Например, уравнение (1) является уравнением пятой степени, а уравнение (2) — уравнением четвёртой степени. Уравнение первой степени можно привести к виду ах + 6 = 0, тде х — переменная, а и В — некоторые числа, причём а # 0. Из уравнения ах + 6 = 0 при а * О получаем, что х = =®. Число =# — а а корень уравнения. Каждое уравнение первой степе