Задача №2-nom-135 по алгебре (11 класс, Мерзляк А.Г.)

Кднако для решёния этой задачи можно примёнить и другую схёму индуктивных рассуждений. Метод математической индукции, рассмотренный в $ 13, образно можно СРЗЕНИ'ТЬ с ДВИЖЁНИСМ по лестнице: если вы стали на ПСРВУЮ СТУ’ пеньку и уверены, что, находясь на ЁЙ ступеньке, сможете с неё перейти на (& + 1)-ю ступеньку, то вы гарантированно сможете попасть на любую сту- пеньку лестницы. Но побывать на каждой ступеньке можно и другим способом. Напри- мер, если вы стали на первую ступеньку, а затем двигаетесь с шагом 2, то есть переступая через ступеньку, то вы побываете на всех ступеньках с не- чётными номерами. Ясно, что если начать движение со второй ступеньки, то вы таким образом пройдёте все ступеньки с чётными номерами, а следо- вательно, за два ПрОХОДа ПОбЬ'ВЗеТе на всех С'ГУПСНЬКЗХ. Этот пример показывает, что возможна следующая схема индуктивно- го доказательства. В теореме «база индукции» доказывается (проверяется) справедливость утверждения при # = 1 и п = 2. Теорема «индуктивный пе- реход» заключается в следующем: предполагают, что утверждение верно для п = Ё, а далее доказывают, что оно верно для п = Ё& + Э. Такую схему рассуждений будем называть индукцией с шагом 2. Индуктивные рассуждения можно вести с шагом 3, 4, Бит.д. Например, покажем, как можно решить задачу из примера 1, исполь- зуя индукцию с шагом 3. Теорема «база индукции»: @а, : 7, а, ! 7, а, { 7. В истинности этих ут- верждений мы убедились выше. Теорема «индуктивный переход»: пусть а, делится (не делится) наце- ло на 7; докажем, что а, ‚ , также делится (не делится) нацело на 7. Для доказательства достаточно показать, что (а, ‚ з — @) : 7. Заверши- те решение самостоятельно. Пример 2. Число а таково, что число а+% — целое. Докажите, что для любого натурального # число @а* + “і„ — также целое.