Задача №2-nom-74 по алгебре (11 класс, Мерзляк А.Г.)

ция Ё(х) = совх является первообразной функции / (х) = —-8т х. Действи- тельно, равенство (со5 х)’ = -ыт х выполняется на промежутке (-ее; +ее). Рассмотрим ещё один пример. Функция Ё(х) = /х является первооб- ч 1 разной функции /`(х) = Т на промежутке (0; +ее), поскольку на этом про- 2/х унае 1 межутке выполняется равенство ( _7(') == — ==® э/х Однако на промежутке [0; +се) функция Ё(х) = Мх не является перво- образной функции /(х) = # так как в точке Х, = 0 не выполняется ра- э/х венство Ё”(х)) = /(х)). Рассмотрим функции Ё (х) = х° +1и Е,(х) = х? - /®. Каждая из них имеет одну и ту же производную Г (00) = Э. Поэтому обе функции Ё, и Р2 яв- ляются первообразными функции / Понятно, что каждая из функций вида Е(х) = х* + С, где С — любое число, является первообразной функции Л (е) = 2х. Следовательно, задача нахождения первообразной имеет беско- нечно много решений. Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все её первообразные на заданном промежутке. Как связаны между собой все первообразные данной функции, указы- вает следующая теорема. Теорема 9.1 : МНННВ (основное свойство первообразной) Если функция ЁЕ является первообразной функции /` на промежутке Ги С — любое число, то функция у = Е(х) + С также является первообразной функции /`на промежут- ке Г. Любую первообразную функции /на промежутке / мож- но представить в виде уу = Р(х) + С, где С — некоторое число. дОКаЗаТеЛЬСТВО Поскольку функция Ё — первообразная функции /` на промежутке /, то для всех х е / выполняется равенство Ё”(х) = /(х). Тогда (Е() + С)' = Е’(х) + С’= Д(х) + 0 = /(1)). Следовательно, функция у = Е (х) + С является первообразной функ- ции /`на промежутке / при любом значении С.