Задача №2-nom-81 по алгебре (11 класс, Мерзляк А.Г.)

9.16. Докажите, что функции Ё (х) = мп х и Е,( = —%соз Эх являются первообразными функции /`(х) = ят 2х. При каком значении С верно равенство Ё,(х) = Е (х) + С? © @) Упражнения для повторения Зх — 5 _ х -1 42% +4х+4 20-х)` 9.18. Решите неравенство: 1) |х* - Эх - 3| < Зх - 3; 9) |3? + 4х + 3| > х + 3. 9.19. Найдите область определения функции З < (— ||(3х — 6) + — — — . Ы к - 1(3х — 6) + х° +4х — 91 9.17. Решите уравнение $& 10. Правила нахождения первообразной ПРИ нахождении ПР()ИЗВ()ДНЬ[Х фуНКЦИЙ вы пользовались не только ф()рМ,\’Л'‹\Мі'!. записанными в таблицс (СМ. ВТОр()й ф()рЗЕ\Ц)‚ но и правилами ДиффСрСНЦИр()ВЦНИЯ. В этом парагрцфс мы рассмотрим три правила на- хождения ПСрВ()Обр'‹іЗНЬ\Х‚ то есть три правила интегрирования. Теорема 10.1 Если функции Р’и © являются соответственно первооб- разными функций /и в на промежутке /, то на этом про- межутке функция у = Е(х) + © (х) является первообраз- ной функции уу = /(х) + 2(х). дОКаЗаТеЛЬсТВО Из условия следует, что для любого х Е / выполняются равенства Е’(х) = / () и С’(х) = & (х). Тогда для любого х из промежутка / имеем: (Р(о) + С () = Е'(х) + С’(х) = 7(0 + а(0 < Из теоремы 10.1 следует, что: [(‚/(д') + &(о))ах = _[/(.\')сіх + _[,‹„г(_г)(!х = Е(х) + С(х) + С. где С — любое число. Аналогично можно доказать, что [(/с9 - &)а = [ /сдах - [в(дах = Е0 - С( +С где С — любое число. © Теорема 10.2 Если функция ЁЕ является первообразной функции /` на промежутке / и & — некоторое число, то на этом проме- жутке функция у = АР (х) является первообразной функ- ции уу = &/`(х). Докажите теорему 10.2 самостоятельно. Теперь можно записать: [&/со)ах = &[ /со)ах = ВЕ(х) + С где С — любое число. © Теорема 10.3 Если функция Р является первообразной функции /` на промежутке Г и & — некоторое число, отличное от нуля, то на соответствующем промежутке функция у = %Р' (&х + Б) является первообразной функции у = /(Ёх + ). Доказательство Используя правило нахождения производной сложной функции. за- пишем: ( (/гг+1