Задача №2-nom-91 по алгебре (11 класс, Мерзляк А.Г.)

Пусть х — произвольная точка промежутка [а; Б] и Ах — приращение аргумента в точке Х. Ограничимся рассмотрением случая, когда Ах > 0 (слу- чай, когда Ах < 0, рассматривают аналогично). Имеем: А5 = 5 (х) + Ах) - 5 (х)) Получаем, что А5 — это площадь криволинейной трапеции, показан- ной на рисунке 11.3 жёлтым цветом. - | Рис. 11.3 Рис. 11.4 и = /(х) А В х © х,+Ах Х На отрезке АВ как на стороне построим прямоугольник, площадь ко- торого равна А5$ (рис. 11.4). Длины сторон этого прямоугольника равны Ах и /(0), где ё — некоторая точка промежутка [х.; Х, + Ах]. Тогда А5$ = /(2) . Ах. 0° ” 0 А5 Отсюда = 7(0 да п =7ЛО Если Ах — (, то 7 — % Поскольку функция/нспрсрывна в точке х), то Вт /(© = /(х,). Отсюда если Ах — 0, то /(2) — / (х). Имеем: '—›.\'0 5'(х) = т А5 = т /(9) = / (. —>0 Ах — Ак-м Поск‹›льку Х, — произвольная точка области определения функции у = $ (х), то для любого х Е [а; Ь] выполняется равенство 5'(х) = /(х). Получили, что функция у = 5 (х) является одной из первообразных функции /`на промежутке [а; ]. Пусть Ё — некоторая первообразная функции /`на промежутке [а; 5. Тогда по основному свойству перв‹)‹›бразной можно записать: Е (х) = 5 (х) + С, где С — некоторое число. Имеем: Р (Ь) - Е(а) = (5 () + С) - (5(а) + С) = $ (Б) - 5 (а) = 5 (5). По определению функции у = 5 (х) искомая площадь 5 криволиней- ной трапеции равна 5 (Ь). Следовательно, $ = Е(Ь) - Е(а). < Пример 1. Найдите площадь 5 фигуры, ограниченной графиком Й ж ж функции /` (х) = чп х и прямыми у = 0, х = з их= о: