Задача №150 по геометрии (8 класс, Погорелов А.В.)

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них. Докажем, что две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые. Действительно, пусть а и в — данные скрещивающиеся прямые (рис. 368). Проведем через них параллельные плоскости а и в. Прямые, пересекающие прямую а и перпендикулярные плоскости а, лежат в одной плоскости (у). Эта плоскость пересекает плоскость в по прямой с', параллельной а. Пусть В — точка пересечения прямых а' и в. Тогда прямая АВ, перпендикулярная плоскости а, перпендикулярна и плоскости в, так как в параллельна а. Отрезок АВ — общий перпендикуляр плоскостей а и в, а значит, и прямых а и в. Докажем, что этот общий перпендикуляр единственный. Допустим, что у прямых а и в есть другой общий перпендикуляр CD. Проведем через точку С прямую в', параллельную в. Прямая CD перпендикулярна прямой в, а значит, и b'. Так как она перпендикулярна прямой а, то она перпендикулярна плоскости а, а значит, параллельна прямой АВ. Выходит, что через прямые АВ и CD, как через параллельные, можно провести плоскость. В этой плоскости будут лежать наши скрещивающиеся прямые АС и BD, а это невозможно, что и требовалось доказать. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.