Задача №123-task по геометрии (9 класс, Погорелов А.В.)

Движение Докажем, что при движении сохраняются углы между полупря(cid:29) мыми. Пусть AB и AC — две полупрямые, исхо(cid:15) дящие из одной точки A, не лежащие на одной пря(cid:15) мой (рис. 187). При движении эти полупрямые переходят в некоторые полупрямые A B и A C . Так как движе(cid:15) 1 1 1 1 ние сохраняет расстояния, то треугольники ABC и A B C равны по третьему признаку равенства тре(cid:15) 1 1 1 Рис. 187 угольников. Из равенства треугольников следует равен(cid:15) ство углов BAC и B A C, что и требовалось доказать. 1 1 1 84 Симметрия относительно точки Пусть О — фиксированная точка и X — произвольная точка плоскости (рис. 188). Отложим на продолжении отрезка OX за точку O отрезок OX(cid:14), равный OX. Точке X(cid:6) называется симметричной Рис. 188 точке X относительно точки O. Точка, симметрич(cid:15) ная точке O, есть сама точка O. Очевидно, что точ(cid:15) ка, симметричная точке X(cid:14), есть точка X. Преобразование фигуры F в фигуру F(cid:14), при котором каждая её точка X переходит в точку X(cid:14), симметричную относительно данной точки O, на(cid:15) зывается преобразованием симметрии относительно точки O. При этом фигуры F и F(cid:6) называются сим(cid:29) метричными относительно точки O (рис. 189). Если преобразование симметрии относи(cid:15) тельно точки O переводит фигуру F в себя, то она называется центрально(cid:29)симметричной, а точка O на(cid:15) зывается центром симметрии. Например, параллелограмм является центрально(cid:15)симметричной фигурой. Его центр сим(cid:15) метрии — точка пересечения диагоналей (рис. 190). Рис. 189 Теорема 9.2 Преобразование симметрии относительно точки яв(cid:29) ляется движением. Доказательство. Пусть X и Y — две произвольные точки фигуры F (рис. 191). Преобразование симметрии от(cid:15) носительно точки O переводит их в точки X(cid:14) и Y(cid:14).