Задача №127-task по геометрии (9 класс, Погорелов А.В.)

Движение 87 Параллельный перенос и его свойства Наглядно параллельный перенос опреде(cid:15) ляется как преобразование, при котором точки сме(cid:15) щаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние (рис. 199). Такое определение не яв(cid:15) ляется математически строгим, потому что в нём употребляется выражение «в одном и том же на(cid:15) правлении», которое само нуждается в точном опре(cid:15) делении. В связи с этим параллельному переносу мы дадим другое, отвечающее тому же наглядному представлению, но уже строгое определение. Введём на плоскости декартовы коорди(cid:15) наты x, y. Преобразование фигуры F, при котором Рис. 199 произвольная её точка (x; y) переходит в точку (x + a; y + b), где a и b — одни и те же для всех точек (x; y), называется параллельным перено(cid:29) сом (рис. 200). Параллельный перенос задаётся фор(cid:15) мулами x(cid:14) = x + a, y(cid:14) = y + b. Эти формулы выражают координаты x(cid:14), y(cid:14) точки, в которую переходит точка (x; y) при па(cid:15) раллельном переносе. Параллельный перенос есть движение. Действительно, две произвольные точки A (x ; y ) и 1 1 B (x ; y ) переходят при параллельном переносе в 2 2 точки A(cid:14) (x + a; y + b), B(cid:14) (x + a; y + b). Рис. 200 1 1 2 2 Поэтому AB2 = (x – x )2 + (y – y )2, 2 1 2 1 A(cid:14)B(cid:14)2 = (x – x )2 + (y – y )2. 2 1 2 1 Отсюда AB = A(cid:14)B(cid:14). Таким образом, парал(cid:15) лельный перенос сохраняет расстояния, а значит, является движением, что и тре(cid:15) бовалось доказать. Название «параллельный пе(cid:15) ренос» оправдывается тем, что при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.