Задача №128-task по геометрии (9 класс, Погорелов А.В.)

8 класс Действительно, пусть точки A (x ; y ) и B (x ; y ) пе(cid:15) 1 1 2 2 реходят в точки A(cid:14) (x +a; y +b) и B(cid:14) (x + a; y + b) 1 1 2 2 (рис. 201). Середина отрезка AB(cid:14) имеет координаты x +x +a y + y + b x= 1 2 , y = 1 2 . 2 2 Те же координаты имеет и середина отрезка A(cid:14)B. От(cid:15) сюда следует, что диагонали четырёхугольника AA(cid:14)B(cid:14)B пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, этот четырёхугольник — паралле(cid:15) лограмм. А у параллелограмма противолежащие Рис. 201 стороны AA(cid:14) и BB(cid:14) параллельны и равны. Заметим, что у параллелограмма AA(cid:14)B(cid:14)B параллельны и две другие противолежащие сторо(cid:15) ны — AB и A(cid:14)B(cid:14). Отсюда следует, что при параллельном переносе прямая переходит в па(cid:29) раллельную прямую (или в себя). Замечание. В предыдущем доказательстве предпола(cid:15) галось, что точка B не лежит на прямой AA(cid:14). В слу(cid:15) чае, когда точка B лежит на прямой AA(cid:14), точка B(cid:14) тоже лежит на этой прямой, так как середина от(cid:15) резка AB(cid:14) совпадает с серединой отрезка BA(cid:14) (рис. 202). Значит, все точки A, B, A(cid:14), B(cid:14) лежат на одной прямой. Далее, AA′= (x + a–x)2+ (y + b– y)2= a2+ b2. 1 1 1 1 Рис. 202 BB′= (x + a–x)2+ (y + b– y)2= a2+ b2. 2 2 2 2 Таким образом, в этом случае точки A и B смещаются по прямой AB на одно и то же рассто(cid:15) яние a2+ b2, а прямая AB переходит в себя. 88 Существование и единственность параллельного переноса. Сонаправленность полупрямых Теорема 9.4 Каковы бы ни были две точки A и A(cid:6), существует один и только один параллельный перенос, при ко(cid:29) тором точка A переходит в точку A(cid:6).