Задача №139-task по геометрии (9 класс, Погорелов А.В.)

Векторы Действительно, существует единственный параллельный перенос, при котором начало вектора – a переходит в точку A. Вектор, в который перехо(cid:15) дит при этом вектор – a, и есть вектор – a(cid:14). Для практического откладывания от дан(cid:15) — ной точки (D) вектора, равного данному (AB), мож(cid:15) но воспользоваться задачей 2. 93 Координаты вектора – Пусть вектор a имеет началом точку A (x ; y ), а концом точку A (x ; у ). Координата(cid:15) 1 1 1 – 2 2 2 ми вектора a будем называть числа a = x – x , 1 2 1 a = y – y . Координаты вектора будем ставить ря(cid:15) 2 2 1 дом с буквенным обозначением вектора, в данном – — случае a (a ; a ) или просто (a ; a ). Координаты ну(cid:15) 1 2 1 2 левого вектора равны нулю. Из формулы, выражающей расстояние между двумя точками через их координаты, следу(cid:15) ет, что абсолютная величина вектора с координата(cid:15) ми a и a равна a2+ a2. 1 2 1 2 Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. И обратно: если у векторов соответст(cid:29) вующие координаты равны, то векторы равны. Действительно, пусть точки A (x ; y ) и A (x ; y ) — начало и конец ве 1 кто 1 ра 1– a. Так 2 ка 2 к р 2 авный ему вектор – a(cid:14) – получается из вектора a параллельным пе(cid:15) реносом, то его началом и концом будут A(cid:14) (x + c; y + d), A(cid:14) (x + c; y + d) со(cid:15) 1 1 1 2 2 2 ответственно. Отсюда видно, что оба векто(cid:15) ра – a и – a(cid:14) имеют одни и те же координаты: x – x и y – y . 2 1 2 1 Докажем теперь обратное ут(cid:15) верждение. Пусть соответствующие коор(cid:15) динаты векторов A — A и A —(cid:14)A(cid:14) равны. Дока(cid:15) 1 2 1 2 жем, что векторы равны. Пусть x(cid:14) и y(cid:14) — координаты 1 1 точки A(cid:14) , а x(cid:14) и y(cid:14) — координаты точки A(cid:14) . 1 2 2 2 По условию теоремы x – x = x(cid:14) – x(cid:14) , 2 1 2 1 y – y = y(cid:14) – y(cid:14) . Отсюда x(cid:14) = x + x(cid:14) – x , 2 1 2 1 2 2 1 1