Задача №145-task по геометрии (9 класс, Погорелов А.В.)

Векторы Действительно, левая часть равенства есть (a + b ) c + (a + b ) c , а правая a c + a c + 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 + b c + b c . Очевидно, они равны. 1 1 2 2 — Углом между ненулевыми векторами AB — и AC называется угол BAC. Углом между любыми – – двумя ненулевыми векторами a и b называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю. Теорема 10.3 Скалярное произведение векторов равно произведе(cid:29) нию их абсолютных величин на косинус угла меж(cid:29) ду ними. Доказательство. Пусть – a и – b — данные векторы и ϕ — угол между ними. Имеем – – – – – – (a + b)2 = (a + b)(a + b) = – – – – – – = (a + b)a + (a + b) b = –– –– –– –– =aa+ ba+ab + bb = – –– – =a2+2ab + b2, или (cid:15)– a + – b(cid:15)2 = (cid:15)– a(cid:15)2 + (cid:15)– b(cid:15)2+2 – a – b. Отсюда видно, что скалярное произведе(cid:15) –– – – ние ab выражается через длины векторов a, b и – – a + b, а поэтому не зависит от выбора системы ко(cid:15) ординат, т. е. скалярное произведение не изменится, если систему координат выбрать специальным обра(cid:15) зом. Возьмём систему координат xy так, как пока(cid:15) зано на рисунке 227. При таком выборе системы ко(cid:15) ординат координатами вектора a – будут (cid:15)a –(cid:15) и 0, а координатами вектора – b будут (cid:15)– b(cid:15)cos ϕ и (cid:15)– b(cid:15)sin ϕ. Ска(cid:15) лярное произведение: – a – b = (cid:15)– a(cid:15)(cid:15)– b(cid:15)cos ϕ + 0(cid:15)– b(cid:15)sin ϕ = (cid:15)– a(cid:15)(cid:15)– b(cid:15)cos ϕ. Теорема доказана. Из теоремы 10.3 следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скаляр(cid:29) ное произведение отличных от нулевого векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Рис. 227