Задача №188-task по геометрии (9 класс, Погорелов А.В.)

9 класс 121Длина окружности Наглядное представление о длине окруж(cid:15) ности получается следующим образом. Вообразим себе нить в форме окружности. Разрежем её и рас(cid:15) тянем за концы. Длина полученного отрезка и есть длина окружности. Как найти длину окружности, зная её радиус? Ясно, что при неограниченном уве(cid:15) личении числа сторон вписанного в окружность пра(cid:15) вильного многоугольника его периметр неограничен(cid:15) но приближается к длине окружности (рис. 290). Исходя из этого, докажем некоторые свойства дли(cid:15) Рис. 290 ны окружности. Теорема 13.7 Отношение длины окружности к её диаметру не за(cid:29) висит от окружности, т. е. одно и то же для любых окружностей. Доказательство. Возьмём две произвольные окружности. Пусть R и R — их радиусы, а l и l — их длины. 1 2 1 2 Допустим, что утверждение теоремы не(cid:15) l l верно и 1 (cid:2) 2 , например: 2R 2R 1 2 l l 1 (cid:10) 2 . (*) 2R 2R 1 2 Впишем в наши окружности правильные выпуклые многоугольники с большим числом сторон n. Если n очень велико, то длины наших окружностей бу(cid:15) дут очень мало отличаться от периметров p и p вписанных многоугольников. По(cid:15) 1 2 этому неравенство (*) не нарушится, ес(cid:15) ли в нём заменить l на p , а l на p : 1 1 2 2 p p 1 (cid:10) 2 . (**) 2R 2R 1 2 Но, как мы знаем, периметры правильных выпуклых n(cid:15)угольников относятся как радиусы опи(cid:15) p R p p санных окружностей: 1= 1. Отсюда 1 = 2. А это p R R R 2 2 1 2 противоречит неравенству (**). Теорема доказана.