Задача №99-task по геометрии (9 класс, Погорелов А.В.)

Теорема Пифагора 70 Изменение синуса, косинуса, тангенса и котангенса при возрастании угла Теорема 7.5 При возрастании острого угла sinα и tgα возрас(cid:29) тают, а cosα и ctgα убывают. Доказательство. Пусть α и β — острые углы, причём α (cid:10) β. Отложим углы α и β от полупрямой AB в од(cid:15) ну полуплоскость (рис. 164). Проведём через точку B прямую, перпендикулярную AB. Она пересекает сто(cid:15) роны наших углов в точках C и D. Так как α (cid:10) β, то точка C лежит между точками B и D. Поэтому BC (cid:10) BD. А значит, по свойству наклонных, проведённых из одной точки к прямой, AC (cid:10) AD. Так как cosα = AB , cosβ = AB , то AC AD cosα (cid:8) cosβ, т. е. при возрастании угла косинус убывает. Рис. 164 Так как sinα = 1–cos2α, а cosα убыва(cid:15) ет при возрастании угла, то sinα возрастает. Так как tgα =sinα , ctgα = cosα и sinα cosα sinα возрастает, а cosα убывает при возрастании α, то tgα возрастает при возрастании α, а ctgα убывает. Теорема доказана. Контрольные вопросы 1. Дайте определение косинуса острого угла прямоугольного тре(cid:15) угольника. 2. Докажите, что косинус угла зависит только от градусной ме(cid:15) ры угла и не зависит от расположения и размеров треуголь(cid:15) ника. 3. Докажите теорему Пифагора. 4. Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза боль(cid:15) ше любого из катетов. 5. Докажите, что cosα (cid:10) 1 для острого угла α. 6. Докажите, что если из одной точки к прямой проведены пер(cid:15) пендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпен(cid:15) дикуляра. Равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. 7. Докажите неравенство треугольника. 8. Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.